Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2

3

．
（1）求双曲线的方程
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2

3

，求出几何量，即可求出双曲线的标准方程；
（2）由直线l与双曲线交于不同的两点得k²≠

1

3

且k²＜1，再由∠AOB为锐角，得x_Ax_B+y_Ay_B＞0，利用韦达定理结合题设条件进行求解．

解答： 解：（1）∵中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长2

3

，
∴2a=2

3

，a=

3

，c=2，b=1，
∴双曲线的方程为

x2

3

-y2=1；
（2）将y=kx+

2

代入双曲线消去y得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．
由直线l与双曲线交于不同的两点得

1-3k2≠0 △=36(1-k2)＞0

即k²≠

1

3

且k²＜1．①
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则x_A+x_B=

6 2 k

1-3k2

，x_Ax_B=

-9

1-3k2

．
由∠AOB为锐角，得x_Ax_B+y_Ay_B＞0，
即x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+

2

）（kx_B+

2

）=（k²+1）x_Ax_B+

2

k（x_A+x_B）+2
=

3k2+7

3k2-1

＞0．②

∵-3k2-7＜0

，
∴1-3k2＜0
综上：k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．