Question

【题目】已知椭圆，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

设直线AB的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系及弦长公式，得到

，解得的值，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程组，利用，求得的值，再由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，即可求解．

由题意，设直线AB的方程为，点 A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程组，整理得18x2+10mx+5m2﹣30＝0，

所以x1+x2，x1x2．

因为，即，

代入整理得，解得，

不妨取：m＝2，可得直线AB的方程为，

设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为yx+t，

联立方程组，整理得18x2+10tx+5t2﹣30＝0，

由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．

取t＝﹣6时，与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离，

所以△ABC面积的最大值，

故答案为：．