Question

【题目】如图，在矩形中，，，平面，且，、、分别为，，中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得，得到，利用线面平行的判定定理，得到平面，再由面面平行的判定定理，即可证得平面平面．

（2）求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值．

解：（1）以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则，，，，，，

又是中点，∴，，

∴，∴，

又平面，平面，∴平面，

又是中点，∴，

∵平面，平面，∴平面，

∵，，平面，∴平面平面．

（2）设平面的法向量，则，

由（1）知，，

∴，取，得，

同样求平面的一个法向量，

，，

∴二面角的余弦值为．