【题目】已知数列满足, ,其中.
(1)设,求证:数列是等差数列,并求出的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2) 的最小值为3.
【解析】试题分析:(1)利用递推公式即可得出为一个常数,从而证明数列是等差数,再利用等差数列的通项公式即可得到,进而得到;(2)利用(1)的结论,利用“裂项求和”即可得到,要使得对于恒成立,只要,即,解出即可.
试题解析:(1)证明: ,
所以数列是等差数列,
,因此,
由.
(2)由,
所以,
所以,
因为,所以恒成立,
依题意要使对于,恒成立,只需,且 解得, 的最小值为.
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;②
;③;
④ ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
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【题目】如图,在正方体中,过对角线的一个平面交于点,交于.
①四边形一定是平行四边形;
②四边形有可能是正方形;
③四边形在底面内的投影一定是正方形;
④四边形有可能垂直于平面.
以上结论正确的为_______________.(写出所有正确结论的编号)
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【题目】已知椭圆()离心率等于,P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上的两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值.
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【题目】某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费,计费方法如下:3人和3人以下的住户,每户收取5元;超过3人的住户,每超出1人加收1.2元.设计一个算法,根据输入的人数,计算应收取的卫生费,并画出程序框图.
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【题目】函数f(x)=是定义在[-l,1]上的奇函数,且f()=。
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)判断并用定义证明f(x)在(-1,1)上的单调性;
(3)若f(1-3m)+f(1+m)≥0,求实数m的所有可能的取值。
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【题目】在120°的二面角α--β的两个面内分别有点A,B,A∈α,B∈β,A,B到棱l的距离AC,BD分别是2,4,且线段AB=10.
(1)求C,D间的距离;
(2)求直线AB与平面β所成角的正弦值.
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【题目】如图,在四棱锥中P﹣ABCD,AB=BC=CD=DA,∠BAD=60°,AQ=QD,△PAD是正三角形.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)已知点M是线段PC上,MC=λPM,且PA∥平面MQB,求实数λ的值.
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
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【题目】已知函数f(x)=mlnx﹣x2+2(m∈R).
(1)当m=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在x=1时取得极大值,求证:f(x)﹣f′(x)≤4x﹣3;
(3)若m≤8,当x≥1时,恒有f(x)﹣f′(x)≤4x﹣3恒成立,求m的取值范围.
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