Question

【题目】已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．
（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；
（3）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞）， ，

解f′（x）=0，得 ．当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

综上，当m=1时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减．

（2）解：若f（x）在x=1时取得极大值，则 ，则m=2．

此时f（x）=2lnx﹣x2+2， ．

令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，

则 . ．

令g′（x）=0，得x=±1．列表得

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	﹣
g（x）	↗	极大值	↘

…（8分）

由上表知，gmax（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3．

（3）解：令

则 ①．

当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x≥1，g（x）≤

g（1），

故只需g（1）≤0，即﹣1﹣2﹣m+5≤0，即m≥2，所以m=2．

②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得 ．

当 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

当 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．

所以当 时，g（x）取得最大值．

故只需 ，即 ，

令 ，则 ， ，

所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，

又h′（1）=﹣2＜0，h′（4）=ln4﹣1＞0，以x0∈（1，4），h′（x0）=0，

所以h（x）在（1，x0）上单调递减，

在（x0，4）上递增，而h（1）=﹣1﹣4+5=0，h（4）=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7＜0，

所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，

所以当2＜m≤8时， ．

综上所述，2≤m≤8．

【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，利用f′（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间．（2）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，通过函数的导数，求出函数的最值即可．（3）令 ，求出导函数，通过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．