Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.

（2）讨论函数的单调性.

Answer 1

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

（1）求函数f（x）的导数，令f'（2）＝4求出a值，利用切点P（2，f（2））在函数f（x）和切线y＝4x﹣2上，求出b值，可得答案．（2）求导函数，比较导函数等于0的方程根的大小，分类讨论，确定函数的单调性；

（1）求导函数得f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2

∵若曲线y＝f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y＝4x﹣2

∴f′（2）＝4a﹣2（a+2）+2＝4

∴2a＝6，∴a＝3,

∵点P（2，f（2））在切线方程y＝4x﹣2上,

∴f（2）＝4×2﹣2＝6，∴2+b＝6，∴b＝4

∴函数f（x）的解析式为；

（2）f′（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝(ax-2)(x-1),函数定义域为R，

①当a=0时，f′（x）＝﹣2（x-1）,

函数f（x）在区间（﹣∞，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；

②当0＜a＜2，即时，函数f（x）在区间（﹣∞，1）及（，+∞）上为增函数；在区间（1，）上为减函数；

③当a＞2，即时，函数f（x）在区间（﹣∞，）及（1，+∞）上为增函数；在区间（，1）上为减函数；

④当a=2时，f′（x）＝(2x-2)(x-1)=，可知函数在定义域上为增函数.

⑤当时，函数在区间及（1，+∞）上为减函数，在区间上为增函数.