Question

11．命题p：x²-4mx+1=0有实数解，命题q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p且q为假命题，且命题p或q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：x²-4mx+1=0有实数解，则△≥0，解得m范围．命题q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立，若m=0，化为-2x₀＞1，满足题意；若m≠0时，则△＞0，解得m范围．再利用复合命题真假的判定方法即可得出（1）（2）（3）．

解答 解：命题p：x²-4mx+1=0有实数解，则△=（-4m）²-4≥0，解得$m≥\frac{1}{4}$．
命题q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立，若m=0，化为-2x₀＞1，满足题意；若m≠0时，则△=4+4m＞0，解得m＞-1（m≠0），综上可得：m＞-1．
（1）若命题p为真命题，则实数m的取值范围是$m≥\frac{1}{4}$．
（2）若命题q为真命题，则实数m的取值范围是m＞-1．
（3）若命题p且q为假命题，且命题p或q为真命题，
则命题p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{4}}\\{m≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜\frac{1}{4}}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，
解得$-1＜m＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．