Question

3．已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴端点分别为A₁，A₂，记双曲线的其中的一个焦点为F，一个虚轴端点为B，若在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点P_i（i=1，2），使得∠A₁P_iA₂=$\frac{π}{2}$，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}+1}{2}$）
• C． （1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出直线BF的方程为cx+by-bc=0，利用直线与圆的位置关系，结合a＜b，即可求出双曲线离心率e的取值范围．

解答 解：由题意可设F（0，c），B（b，0），则直线BF的方程为cx+by-bc=0，
∵在线段BF上（不含端点）有且只有不同的两点P_i（i=1，2），使得∠A₁P_iA₂=$\frac{π}{2}$，
∴线段BF与以A₁A₂为直径的圆相交，即$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$＜a，化为b²c²＜a⁴，
又b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，
∴e⁴-3e²+1＜0，解得$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜e²＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，又e＞1
∴1＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∵在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点P_i（i=1，2），使得∠A₁P_iA₂=$\frac{π}{2}$，
可得a＜b，
∴a²＜c²-a²，解得e＞$\sqrt{2}$，
综上得，$\sqrt{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查离心率的范围，考查直线与圆的位置关系的判断，属于中档题．