Question

14．已知$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，tan（α+β）=\frac{1}{7}，α∈（\frac{π}{2}，π）$，那么tanβ的值为3．

Answer 1

分析 由已知，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式即可化简求值．

解答 解：∵$sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，tan（α+β）=\frac{1}{7}，α∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-2，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{tanβ-2}{1+2tanβ}$=$\frac{1}{7}$，整理可得：tanβ=3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．