Question

4．对于任意一个非零复数α，定义M_a={ω|ω=α^2n-1，n∈N₊}．
（1）若集合M中只有三个元素，试写出满足条件的一个α，并说明理由；
（2）设α是方程x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$的一个根，试用列举法表示集合M．

Answer 1

分析 （1）定义M_α={ω|ω=α^2n-1，n∈N₊}，且集合M中只有三个元素，可得α=α⁷，α≠0，即α⁶=1，解出即可得出．
（2）由x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$，化为：x²-$\sqrt{2}$x+1=0，利用求根公式解得x，即可得出M．

解答 解：（1）∵定义M_α={ω|ω=α^2n-1，n∈N₊}，且集合M中只有三个元素，
∴α=α⁷，α≠0，
∴α⁶=1，
取α=$cos\frac{π}{3}+isin\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$．
∴M_α={$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，-1，$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$}．
（2）由x+$\frac{1}{x}$=$\sqrt{2}$，化为：x²-$\sqrt{2}$x+1=0，解得x=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{2}i}{2}$，∴M=$\{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}，\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}\}$．

点评 本题考查了集合的运算性质、新定义、复数的运算性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．