Question

6．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AD∥BC，即可证明BC∥面ADEF，然后证明EF∥BC．
（Ⅱ）以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．求出设面BCFE的法向量，设$\overrightarrow{DF}$与$\overrightarrow{n_0}$所成角为φ，直线DE与面BCEF所成角为θ．通过sinθ=|cosφ|，求解直线EF与平面BCEF所成角的正弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形
所以AD∥BC，且BC?面ADEF，AD?面ADEF
所以BC∥面ADEF且面ADEF∩面BCEF=EF
所以EF∥BC．-----------------------------（6分）
（Ⅱ）因为FO⊥面ABCD
所以FO⊥AO，FO⊥OB
又因为OB⊥AO
以O为坐标原点，OA，OB，OF分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

取CD的中点M，连OM，EM．易证EM⊥平面ABCD．
又因为BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标：$B（0，1，0），C（-\sqrt{3}，0，0），D（0，-1，0），F（0，0，\sqrt{3}），E（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$
向量$\overrightarrow{DE}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$，向量$\overrightarrow{BC}=（-\sqrt{3}，-1，0）$，向量$\overrightarrow{BF}=（0，-1，\sqrt{3}）$
设面BCFE的法向量为：$\overrightarrow{n_0}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{0}}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}{x_0}-{y_0}=0\\-{y_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\end{array}\right.$
令${y_0}=\sqrt{3}$时$\overrightarrow{n_0}=（-1，\sqrt{3}，1）$
设$\overrightarrow{DF}$与$\overrightarrow{n_0}$所成角为φ，直线DE与面BCEF所成角为θ．sinθ=|cosφ|=$\frac{{|\overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{DE}|}}{{|\overrightarrow{n_0}|•|\overrightarrow{DE}|}}$=$\frac{{|（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）×（-1）+\frac{1}{2}×\sqrt{3}+\sqrt{3}×1|}}{{\sqrt{{{（-1）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（1）}^2}}•\sqrt{{{（\frac{{-\sqrt{3}}}{2}）}^2}+{{（\frac{1}{2}）}^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$
直线EF与平面BCEF所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．-----------------------（13分）

点评 本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力．