Question

18．如图：四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点．
（1）求证：AM∥平面PBC；
（2）求证：CD⊥PA．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形ABCM是平行四边形，从而AM∥BC，由此能证明AM∥平面PBC．
（2）由PD=PC，点M是CD的中点，得PM⊥CD，由AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，得CD⊥AM，从而CD⊥平面PAM，由此能证明CD⊥PA．

解答 证明：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点
∴AB$\underset{∥}{=}$CM，∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AM∥BC，
∵AM?平面PBC，BC?平面PBC，
∴AM∥平面PBC．
（2）∵PD=PC，点M是CD的中点，
∴PM⊥CD，
∵底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AM∥BC，
∴CD⊥AM，
∵PM∩AM=M，
∴CD⊥平面PAM，
∵PA?平面PAM，
∴CD⊥PA．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．