Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（3，-1），设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≤4}\\{x-y≤1}\\{x+2≥0}\end{array}\right.$，则目标函数z=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$的最大值为7．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据向量的数量积公式先求出z的表达式，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
∵$\overrightarrow{a}$=（x，y），$\overrightarrow{b}$=（3，-1），
∴z=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=3x-y，
由z=3x-y得y=3x-z，
平移直线y=3x-z，由图象可知当直线y=3x-z，经过点A时，
直线的截距最小，此时z最大小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即A（2，1），此时z_max=3×2+1=7，
故答案为：7．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．