Question

8．已知函数f（x）=（x²+x）（x²+ax+b），若对?x∈R，均有f（x）=f（2-x），则f（x）的最小值为-$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由f（0）=f（2），f（-1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．

解答 解：∵对?x∈R，均有f（x）=f（2-x），
∴f（0）=f（2），f（-1）=f（3），
即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），
解得，a=-5，b=6；
故f（x）=（x²+x）（x²-5x+6），
令f′（x）=（2x+1）（x²-5x+6）+（x²+x）（2x-5）
=（x-1）（2x²-4x-3）=0，
解得，x=1或x=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$或x=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
由函数的对称性知，
当x=1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$或x=1-$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，函数f（x）都可以取到最小值，
f（1+$\frac{\sqrt{10}}{2}$）=-$\frac{9}{4}$，
故答案为：-$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及学生的化简运算能力，属于中档题．