Question

11．定义M{x，y}=$\left\{\begin{array}{l}{x，（x≥y）}\\{y，（x＜y）}\end{array}\right.$，设a=x²+xy+x，b=4y²+xy+2y（x，y∈R），则M{a，b}的最小值为-$\frac{1}{6}$，当M取到最小值时，x=-$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 化简a-b=（x²+xy+x）-（4y²+xy+2y）=（x-2y）（x+2y+1），从而可得当（x-2y）（x+2y+1）≥0，M{a，b}=a=x²+xy+x=x（x+y+1），当（x-2y）（x+2y+1）≤0，M{a，b}=b=4y²+xy+2y=y（4y+x+2），从而分类讨论，结合图象求a，b的最小值，从而求得．

解答 解：∵a-b=（x²+xy+x）-（4y²+xy+2y）
=（x-2y）（x+2y+1），
当（x-2y）（x+2y+1）≥0，
M{a，b}=a=x²+xy+x=x（x+y+1），
作平面区域如下，
结合图象可知，在y=-x-1的左下方时，x+y+1＜0，阴影内的点的横坐标x＜0，故a＞0，
在y=-x-1的右上方时，x+y+1＞0，阴影内的点的横坐标x有正有负，故当x＜0时，a＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+2y+1=0}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$；
当-1＜x≤-$\frac{1}{2}$时，y=-$\frac{x+1}{2}$使a在x不变时有最小值，
即a=x（x-$\frac{x+1}{2}$+1）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
故x=-$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$时，a有最小值-$\frac{1}{8}$；
当-$\frac{1}{2}$≤x＜0时，y=$\frac{x}{2}$时使a在x不变时有最小值，
即a=x（$\frac{3x}{2}$+1）=$\frac{3}{2}$（x+$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{6}$，
故x=-$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{1}{6}$时，a有最小值-$\frac{1}{6}$；
当（x-2y）（x+2y+1）≤0，
M{a，b}=b=4y²+xy+2y=y（4y+x+2），
作平面区域如下，
，
结合图象可知，在4y+x+2=0的左下方时，4y+x+2＜0，阴影内的点的纵坐标y＜0，故b＞0，
在4y+x+2=0的右上方时，4y+x+2＞0，阴影内的点的纵坐标y有正有负，故当y＜0时，b＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+2y+1=0}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$；
当-$\frac{1}{2}$＜y≤-$\frac{1}{4}$时，x=-2y-1使b在y不变时有最小值，
即b=y（2y+1）=2（y+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
故x=-$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{4}$时，b有最小值-$\frac{1}{8}$；
当-$\frac{1}{4}$≤y＜0时，x=2y时使b在y不变时有最小值，
即b=y（6y+2）=6（y+$\frac{1}{6}$）²-$\frac{1}{6}$，
故x=-$\frac{1}{3}$，y=-时，b有最小值-$\frac{1}{6}$；
综上所述，M{a，b}的最小值为-$\frac{1}{6}$，此时x=-$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{1}{6}$．
故答案为：-$\frac{1}{6}$，-$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了最值的求法及分类讨论的思想应用，属于难题．