Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过点M（b，0）且斜率为1的直线与椭圆交于点A、B，设O为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{32}{5}$cot∠AOB，则该椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设a=2t，则c=$\sqrt{3}$t，b=t，t＞0．即有椭圆方程为x²+4y²=4t²，设直线方程为x=t+y，代入椭圆方程可得，5y²+2ty-3t²=0，运用韦达定理，由向量的数量积的定义，可得S_△AOB=$\frac{16}{5}$，S_△AOB=S_△AOM+S_△MOB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|，计算即可得到t=2，进而得到椭圆方程．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，设a=2t，则c=$\sqrt{3}$t，b=t，t＞0．
即有椭圆方程为x²+4y²=4t²，
设过点M（b，0）且斜率为1的直线为y=x-t，即为x=t+y，
代入椭圆方程可得，5y²+2ty-3t²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁+y₂=-$\frac{2}{5}$t，y₁y₂=-$\frac{3}{5}$t²，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4{t}^{2}}{25}+\frac{12{t}^{2}}{5}}$=$\frac{8t}{5}$，
由$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{32}{5}$cot∠AOB=$\frac{32}{5}$•$\frac{cos∠AOB}{sin∠AOB}$，
即有|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos∠AOB=$\frac{32}{5}$•$\frac{cos∠AOB}{sin∠AOB}$，
可得$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|sin∠AOB=$\frac{16}{5}$，
即S_△AOB=$\frac{16}{5}$，
由S_△AOB=S_△AOM+S_△MOB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$t•$\frac{8t}{5}$=$\frac{16}{5}$，
解得t=2，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．