Question

18．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≤x\\ x+y≤k.\end{array}\right.$（k为常数），若z=x+2y最大值为8，则k=$\frac{16}{3}$．

Answer 1

分析 由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=k}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$），
将z=x+2y转化为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$，
显然直线过A（$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$）时，z最大，
z的最大值是：$\frac{k}{2}$+k=8，解得：k=$\frac{16}{3}$，
故答案为：$\frac{16}{3}$．

点评 如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．