Question

设函数f（x）满足f（e^x）=x²-2ax+a²-1（a∈R），
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）使用换元法令e^x=t，则x=lnt代入即可求出；
（2）若函数f（x）满足

f(x)在区间[1，e]上单调 f(1)f(e)＜0

，则f（x）在区间（1，e）上只有一个零点；
若函数f（x）在区间[1，e]上单调，且满足若有f（1）=0或若有f（e）=0，亦可．此解出即可．

解答：解：（1）令e^x=t，则x=lnt，∴f（t）=ln²t-2alnt+a²-1，
把t换成x得f（x）=ln²x-2alnx+a²-1（a∈R，x＞0）．
（2）∵f（x）=（lnx-a）²-1，由x∈[1，e]，得lnx∈[0，1]，
∴当a≥1，或a≤0时，f（x）在[1，e]上具有单调性．
∵f（x）在区间[1，e]上恰有一个零点，
∴

a≥1，或a≤0 f(1)f(e)≤0

 解得-1≤a≤0，或1≤a≤2．
故a的取值范围是[-1，0]∪[1，2]．

点评：本题考查了闭区间上的函数的零点，掌握函数开区间上恰有一个零点的充分条件是解决此问题的关键．