已知抛物线的焦点为,点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点是抛物线上的两点,的角平分线与轴垂直,求的面积最大时直线的方程.
(1);(2)
解析试题分析:(1)由于点是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,假设点,再通过,可得一个关于与的关系式,在结合抛物线方程即可求出.从而求得抛物线的方程.
(2)因为的角平分线与轴垂直,所以可知的倾斜角互补,即的斜率互为相反数.所以假设直线PA,联立抛物线方程即可得到点A的坐标,类比地求出点B的坐标.结合韦达定理,可以得到直线AB的斜率为定值-1.通过假设直线AB的方程,联立抛物线的方程,应用点到直线的距离,即可表示三角形的面积.再通过求最值即能到结论.
试题解析:(1)设,因为,由抛物线的定义得,又,所以,
因此,解得,从而抛物线的方程为.
(2)由(1)知点的坐标为,因为的角平分线与轴垂直,所以可知的倾斜角互补,即的斜率互为相反数
设直线的斜率为,则,由题意,
把代入抛物线方程得,该方程的解为4、,
由韦达定理得,即,同理,
所以,
设,把代入抛物线方程得,
由题意,且,从而
又,所以,点到的距离,
因此,设,
则,
由知,所以在上为增函数,因此,
即面积的最大值为.
的面积取最大值时,所以直线的方程为.
考点:1.抛物线的性质.2.函数的最值.3.等价变换.4.圆锥曲线与函数知识的交汇.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
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某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段和围成的封闭图形.花坛设计周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米(),圆心角为弧度.
(1)求关于的函数关系式;
(2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费用为4元/米,两条弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,当为何值时,取得最大值?
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若函数f(x)=sin2ax-sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m相切,相邻切点之间的距离为.
(1)求m和a的值;
(2)若点A(x0,y0)是y=f(x)图象的对称中心,且x0∈,求点A的坐标.
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某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站,甲中转站建在区域内,乙中转站建在区域内.分界线固定,且=百米,边界线始终过点,边界线满足.
设()百米,百米.
(1)试将表示成的函数,并求出函数的解析式;
(2)当取何值时?整个中转站的占地面积最小,并求出其面积的最小值.
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已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
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