Question

17．若${（{x^2}-\frac{2}{x}）^n}$的二项展开式中，所有项的二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为240（用数字作答）．

Answer 1

分析 由二项式系数的性质结合已知求得n，写出二项展开式的通项，再由x的指数等于0求得r值，则展开式中的常数项可求．

解答 解：∵${（{x^2}-\frac{2}{x}）^n}$的二项展开式中，所有项的二项式系数和为64，∴2ⁿ=64，即n=6．
则${（{x^2}-\frac{2}{x}）^n}$=$（{x}^{2}-\frac{2}{x}）^{6}$，
由${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}{（x}^{2}）^{6-r}•（-\frac{2}{x}）^{r}$=$（-2）^{r}•{C}_{6}^{r}•{x}^{12-3r}$．
令12-3r=0，得r=4．
∴展开式中的常数项为$（-2）^{4}•{C}_{6}^{4}=240$．
故答案为：240．

点评 本题考查二项式定理的应用，考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．