对数列,规定
为数列
的一阶差分数列,其中
, 对自然数
,规定
为
的
阶差分数列,其中
.
(1)已知数列的通项公式
,试判断
,
是否为等差或等比数列,为什么?
(2)若数列首项
,且满足
,求数列
的通项公式。
(3)对(2)中数列,是否存在等差数列
,使得
对一切自然
都成立?若存在,求数列
的通项公式;若不存在,则请说明理由。
(1)是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。
(2),
,
,
,猜想:
证明:数学归纳法。
(3)组合数性质证得,存在等差数列,
,使得
对一切自然
都成 。
解析试题分析:(1), 1分
∴是首项为4,公差为2的等差数列。 2分
3分
∴是首项为2,公差为0的等差数列;也是首项为2,公比为1的等比数列。
4分
(2),即
,即
,∴
6分
∵,∴
,
,
,猜想:
7分
证明:ⅰ)当时,
;
ⅱ)假设时,
8分
时,
结论也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知, 10分
(3),即
. ...11分
∵ 13分
∴存在等差数列,
,使得
对一切自然
都成 14分
考点:等差数列、等比数列的基础知识,数学归纳法,组合数的性质。
点评:中档题,本题综合性较强,将数列、数学归纳法、二项式系数的性质、组合数公式等综合考查。利用“功能、猜想、证明”的方法,研究得到数列的特征,是常见题型。(3)小题利用二项式系数的性质及组合数公式,得到证明恒等式的目的。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
对于给定数列,如果存在实常数
使得
对于任意
都成立,我们称数列
是“
数列”.
(Ⅰ)若,
,
,数列
、
是否为“
数列”?若是,指出它对应的实常数
,若不是,请说明理由;
(Ⅱ)证明:若数列是“
数列”,则数列
也是“
数列”;
(Ⅲ)若数列满足
,
,
为常数.求数列
前
项的和.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知正项数列在抛物线
上;数列
中,点
在过点(0,1),以
为斜率的直线上。
(1)求数列的通项公式;
(2)若成立,若存在,求出k值;若不存在,请说明理由;
(3)对任意正整数,不等式
恒成立,求正数
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列是等差数列,
(1)判断数列是否是等差数列,并说明理由;
(2)如果,试写出数列
的通项公式;
(3)在(2)的条件下,若数列得前n项和为
,问是否存在这样的实数
,使
当且仅当
时取得最大值。若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知,数列
满足
,数列
满足
;又知数列
中,
,且对任意正整数
,
.
(Ⅰ)求数列和数列
的通项公式;
(Ⅱ)将数列中的第
项,第
项,第
项,……,第
项,……删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
,求数列
的前
项和.
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