Question

8．已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）=f（x）-（m-1）x+m．
i．若对任意x∈[m，m+1]，都有g（x）＜0恒成立，求实数m的范围；
ii．关于x的不等式a≤g（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}（其中a，b为整数，且a＜b），试求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果．
（2）因为对任意x∈[m，m+1]，都有g（x）＜0恒成立，所以$\left\{\begin{array}{l}{g（m）≤0}\\{g（m+1）≤0}\end{array}\right.$，解得实数m的范围；
（3）假设存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤f（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．即a≤x²-mx+m-1≤b的解集为{x|a≤x≤b}．可得f（a）=a，f（b）=b．即x²-mx+m-1=x的两个实数根为a，b．即可得出．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=-1得c=-1，
故f（x）=ax²+bx-1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）-1-（ax²+bx-1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等2a=2，a+b=0
所以a=1，b=-1，
所以f（x）=x²-x-1；
（2）g（x）=x²-x-1-（m-1）x+m=x²-mx-1-m，开口方向向上
因为对任意x∈[m，m+1]，都有g（x）＜0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{g（m）≤0}\\{g（m+1）≤0}\end{array}\right.$，解得m≥-1；
（3）假设存在整数a，b（a＜b），使得关于x的不等式a≤g（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．
即a≤x²-mx+m-1≤b的解集为{x|a≤x≤b}．则g（a）=a，g（b）=b．
所以x²-mx+m-1=x的两个实数根为a，b．
所以a+b=m+1，ab=m-1．
当b=1时，a不存在，舍去；
当b≠1时，a=1-$\frac{1}{b-1}$，只有b=2或0时，可得a=0，2．
又a＜b，
所以存在整数a=0，b=2时，使得关于x的不等式a≤g（x）≤b的解集为{x|a≤x≤b}．

点评 本题考查了二次函数的单调性、“三个二次”的关系，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．