Question

17．已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且对于任意的x∈R都有f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，则g（2014）的值为-2008．

Answer 1

分析 根据不等式关系f（x+5）≥f（x）+5，f（x+1）≤f（x）+1，得到f（x+5）=f（x），从而得到函数的周期为5，利用函数的周期性进行转化即可．

解答 解：∵f（x+1）≤f（x）+1，
∴f（x+5）≤f（x+4）+1≤f（x+3）+2≤f（x+2）+3≤f（x+1）+4≤f（x）+5，
而f（x+5）≥f（x）+5，
∴f（x+5）=f（x），此时等号同时成立，
即f（x+5）=f（x+4）+1=f（x+3）+2=f（x+2）+3=f（x+1）+4=f（x）+5，
则函数f（x）的周期为5，
∵g（x）=f（x）+1-x，
∴g（2014）=f（2014）+1-2014=f（2014）-2013，
∵f（1）=1，
∴f（2014）=f（4+40×5）=f（4），
∵f（1）+5=f（2）+4=f（3）+3=f（4）+2，
∴1+5=f（4）+2，
即f（4）=4．
则f（2014）=f（4）=4，
则g（2014）=f（2014）-2012=4-2012=-2008，
故答案为：-2008

点评 本题主要考查函数值的计算，根据不等式的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．