Question

7．已知不等式2x-1＞m（x²-1），是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由．

Answer 1

分析 利用一元二次不等式的性质，进行判断求解即可．

解答 解：∵2x-1＞m（x²-1），
∴mx²-2x+1-m＜0，
若m=0，则不等式等价为-2x+1＜0，解得x＞$\frac{1}{2}$，不满足条件．
若mx²-2x+1-m＜0恒成立，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△=4-4m（1-m）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{{m}^{2}-m-1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜0，
即存在$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜m＜0使不等式对任意x∈R恒成立．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，根据一元二次不等式和判别式△之间的关系是解决本题的关键．