Question

2．已知数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$，求它的前n项和S_n．

Answer 1

分析 由a_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，利用裂项求和法能求出数列{a_n}的前n项和．

解答 解：∵a_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
∴数列{a_n}的前n项和：
S_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{1}-\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-\frac{1}{25}$+$\frac{1}{16}-\frac{1}{36}$+…+$\frac{1}{（n-3）^{2}}-\frac{1}{（n-1）^{2}}+\frac{1}{（n-2）^{2}}-\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}[\frac{5}{4}-$$\frac{1}{（n+1）^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的性质的合理运用．