Question

11．已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，若$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$，则$\frac{{a}_{5}}{{b}_{5}}$=$\frac{21}{26}$，$\frac{{a}_{3}}{{b}_{5}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式的中间项表示法，求出$\frac{{a}_{5}}{{b}_{5}}$=$\frac{{A}_{9}}{{B}_{9}}$的值，
再求出等差数列{a_n}、{b_n}的通项公式，计算出$\frac{{a}_{3}}{{a}_{5}}$的值，即可得出$\frac{{a}_{3}}{{b}_{5}}$的值．

解答 解：等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，且$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{2n+3}{3n-1}$，
∴$\frac{{a}_{5}}{{b}_{5}}$=$\frac{{9a}_{5}}{{9b}_{5}}$=$\frac{9×\frac{{a}_{1}{+a}_{9}}{2}}{9×\frac{{b}_{1}{+b}_{9}}{2}}$=$\frac{{A}_{9}}{{B}_{9}}$=$\frac{2×9+3}{3×9-1}$=$\frac{21}{26}$；
∴$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=$\frac{{A}_{1}}{{B}_{1}}$=$\frac{5}{2}$，则a₁=$\frac{5}{2}$b₁，
$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$=$\frac{{3a}_{2}}{{3b}_{2}}$=$\frac{{A}_{3}}{{B}_{3}}$=$\frac{9}{8}$，则a₂=$\frac{9}{8}$b₂，
$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$=$\frac{{5a}_{3}}{{5b}_{3}}$=$\frac{{A}_{5}}{{B}_{3}}$=$\frac{13}{14}$，则a₃=$\frac{13}{14}$b₃；
又2a₂=a₁+a₃，
∴$\frac{18}{8}$b₂=$\frac{5}{2}$b₁+$\frac{13}{14}$b₃；
又2b₂=b₁+b₃，
∴$\frac{9}{8}$（b₁+b₃）=$\frac{5}{2}$b₁+$\frac{13}{14}$b₃；
化简得b₃=7b₁，
∴b₂=4b₁，
∴a₂=$\frac{9}{2}$b₁，a₃=$\frac{13}{2}$b₁，a₅=a₁+4•2b₁=$\frac{21}{2}$b₁，
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{5}}$=$\frac{13}{21}$；
又b₅=$\frac{26}{21}$a₅，
∴$\frac{{a}_{3}}{{b}_{5}}$=$\frac{{a}_{3}}{{\frac{26}{21}a}_{5}}$=$\frac{2{1a}_{3}}{2{6a}_{5}}$=$\frac{21}{26}$×$\frac{13}{21}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{21}{26}$，$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的定义和性质，通项公式，前n项和公式的应用问题，
也考查了方程组的解法与应用问题，是综合性题目．