Question

17．用数学归纳法证明：$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$•（n∈N^*）

Answer 1

分析 运用数学归纳法证明，注意解题步骤，特别是n=k+1时，运用假设n=k的结论，结合放缩法，即可得证．

解答 证明：当n=1时，左侧=$\frac{1}{2}$，右侧=2-$\frac{1+2}{2}$=$\frac{1}{2}$，显然成立，
假设n=k时，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{k}{{2}^{k}}$=2-$\frac{k+2}{{2}^{k}}$（k∈N^*）
当n=k+1时，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{k}{{2}^{k}}$+$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$=2-$\frac{k+2}{{2}^{k}}$+$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$=2-$\frac{2k+4-k-1}{{2}^{k+1}}$=2-$\frac{（k+1）+2}{{2}^{k+1}}$，
即有当n=k+1时，等式也成立，
综上可得，$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查数学归纳法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．