Question

5．已知函数f（x）满足f（-x）=f（x）和f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=1-x，则关于x的方程f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x在x∈[0，4]上解的个数是5．

Answer 1

分析 由f（-x）=f（x）和f（x+2）=f（x），可得函数是偶函数，且周期为2的函数，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（-x）=f（x），
∴函数为偶函数，
∵f（x+2）=f（x），
∴函数为周期2的函数，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=1-x，
∴f（-x）=1+x=f（x），
即f（x）=1+x，x∈[-1，0]，
作出函数f（x）和y=（$\frac{1}{3}$）^x在x∈[0，4]上的图象如图：
由图象知两个图象的交点个数为5个，在[0，1）内存在两个交点，
故答案为：5．

点评 本题主要考查函数与方程的应用以及根的个数的判断，利用条件判断函数的奇偶性和周期性，利用数形结合是解决本题的关键．