Question

（1）已知函数f（x）=2^x-x²，问方程f（x）=0在区间[-1，0]内是否有解，为什么？
（2）若方程ax²-x-1=0在（0，1）内恰有一解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）计算得f（-1）=-

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＜0，f（0）=2⁰-0²=1＞0，函数f（x）=2^x-x²的图象是连续曲线，利用零点存在定理可得方程f（x）=0在区间[-1，0]内有解；
（2）方程ax²-x-1=0在（0，1）内恰有一解⇒f（0）•f（1）＜0，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）因为f（-1）=2^-1-（-1）²=-

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＜0，
f（0）=2⁰-0²=1＞0，
而函数f（x）=2^x-x²的图象是连续曲线，所以f（x）在区间[-1，0]内有零点，即方程f（x）=0在区间[-1，0]内有解．
（2）∵方程ax²-x-1=0在（0，1）内恰有一解，即函数f（x）=ax²-x-1在（0，1）内恰有一个零点，
当a=0时，f（x）=-x-1在（0，1）内没有零点；
∴a≠0，由△=1+4a=0可得a=-

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，解方程-

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x²-x-1=0得：x=-2∉（0，1）；
∴函数f（x）=ax²-x-1在（0，1）内恰有一个零点，
只有f（0）•f（1）＜0，即-1×（a-2）＜0，解得a＞2．
故a的取值范围为（2，+∞）．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查零点存在定理的应用及二次函数的性质，属于中档题．