Question

已知向量

OP

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），

OQ

=（cosx，-1），定义f（x）=

OP

•

OQ

．
（1）求出f（x）的解析式．当x≥0时，它可以表示一个振动量，请指出其振幅，相位及初相．
（2）f（x）的图象可由y=sinx的图象怎样变化得到？
（3）若f（α）＞

2

2

且α为△ABC的一个内角，求α的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出；
（2）利用三角函数的图象变换法则即可得出；
（3）利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

OP

•

OQ

=（2cosx+1）cosx-cos2x+sinx-1
=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

)．
其振幅为

2

，相位为x+

π

4

，初相为

π

4

．
（2）可由y=sinx图象横坐标不变，纵坐标伸长到原来的

2

倍，再把曲线上所有的点向左平移

π

4

个单位，即可得y=

2

sin(x+

π

4

)的图象．
（3）

2

sin(α+

π

4

)＞

2

2

，
∴sin(α+

π

4

)＞

1

2

，
∵α∈（0，π），
∴α+

π

4

∈(

π

4

，  

5π

4

)
∴α∈(0，  

7π

12

)．

点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象变换法则、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．