Question

已知双曲线C₁：

x2

2

-y2=1的两条渐近线方程分别为l₁，l₂，A，B分别为l₁，l₂上的两点，|AB|=

2

，且动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程C₂；
（Ⅱ）过点S（0，-

3

5

）且斜率为k的动直线l交曲线C₂于E，F两点，在y轴上是否存在定点M，使以EF为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）双曲线C₁：

x2

2

-y2=1的两条渐近线方程分别为l₁：y=

2

2

x；l₂：y=-

2

2

x．由于A，B分别为l₁，l₂上的两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则y1=

2

2

x1，y2=-

2

2

x2．设P（x，y），由于动点P满足

OP

=

OA

+

OB

，可得x=x₁+x₂，y=y₁+y₂=

2

2

(x1-x2)．利用|AB|=

2

，可得

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

．即(x1-x2)2+

1

2

(x1+x2)2=2，即可得出．
（II）设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．过点S（0，-

3

5

）且斜率为k的动直线l的方程为：y=kx-

3

5

．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，假设在y轴上存在定点M（0，m），使以EF为直径的圆恒过这个点．则

ME

•

MF

=0．再利用数量积运算即可得出．

解答： 解：（I）双曲线C₁：

x2

2

-y2=1的两条渐近线方程分别为l₁：y=

2

2

x；l₂：y=-

2

2

x．
∵A，B分别为l₁，l₂上的两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则y1=

2

2

x1，y2=-

2

2

x2．
设P（x，y），∵动点P满足

OP

=

OA

+

OB

，∴（x，y）=（x₁+x₂，y₁+y₂）．
∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂=

2

2

(x1-x2)．
∵|AB|=

2

，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

．
∴(x1-x2)2+

1

2

(x1+x2)2=2，
∴2y2+

1

2

x2=2，
化为

x2

4

+y2=1，即为点P的轨迹方程C₂；
（II）设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄）．
过点S（0，-

3

5

）且斜率为k的动直线l的方程为：y=kx-

3

5

．
联立

y=kx- 3 5 x2+4y2=4

，化为（25+100k²）x²-120kx-64=0．
∴x3+x4=

120k

25+100k2

，x3x4=

-64

25+100k2

．
y₃y₄=(kx3-

3

5

)(kx4-

3

5

)=k²x₃x₄-

3

5

k(x3+x4)+

9

25

．
y₃+y₄=k(x3+x4)-

6

5

．
假设在y轴上存在定点M（0，m），使以EF为直径的圆恒过这个点．
则

ME

•

MF

=0．
∴（x₃，y₃-m）•（x₄，y₄-m）=x₃x₄+（y₃-m）（y₄-m）=x₃x₄+y₃y₄-m（y₃+y₄）+m²=0．
∴（1+k²）x₃x₄-(

3

5

k+mk)(x3+x4)+

9

25

+

6

5

m+m²=0．
∴

-64(1+k2)

25+100k2

-(

3

5

k+mk)•

120k

25+100k2

+

9

25

+

6

5

m+m2=0．
化为：k²（20m²-20）+5m²+6m-11=0．
令

20m2-20=0 5m2+6m-11=0

，解得m=1．
因此定点M（0，1），使以EF为直径的圆恒过这个点．

点评：本题考查了双曲线与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、向量的坐标运算、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．