Question

已知g（θ）=

cos(-θ- π 2 )•sin( 7π 2 +θ)

sin(2π-θ)

．
（1）化简g（θ）；
（2）若g（

π

3

+θ）=

1

3

，θ∈（

π

6

，

7π

6

），求g（

5π

6

+θ）的值；
（3）若g（

3

2

π-θ）-g（θ）=

1

3

，θ∈（-

π

2

，

π

2

），求g（θ）-g（

π

2

-θ）的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）g（θ）解析式利用诱导公式化简，整理即可得到结果；
（2）根据（1）确定的解析式，由已知等式求出cos（

π

3

+θ）的值，进而求出sin（

π

3

+θ）的值，原式化简后将sin（

π

3

+θ）的值代入计算即可求出值；
（3）由（1）确定的解析式，根据题意等式求出sinθ+cosθ的值，进而求出sinθ-cosθ的值，原式化简后将各自的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）g（θ）=

cos(θ+ π 2 )sin(4π- π 2 +θ)

sin(-θ)

=

-sinθ(-cosθ)

-sinθ

=-cosθ；
（2）∵θ∈（

π

6

，

7π

6

），∴

π

3

+θ∈（

π

2

，

3π

2

），
∵g（

π

3

+θ）=-cos（

π

3

+θ）=

1

3

，即cos（

π

3

+θ）=-

1

3

，
∴当

π

3

+θ∈（

π

2

，π）时，g（

5π

6

+θ）=-cos（

5π

6

+θ）=-cos（

π

2

+

π

3

+θ）=sin（

π

3

+θ）=

1-cos2( π 3 +θ)

=

2 2

3

；
当

π

3

+θ∈（π，

3π

2

），g（

5π

6

+θ）=-cos（

5π

6

+θ）=-cos（

π

2

+

π

3

+θ）=sin（

π

3

+θ）=-

1-cos2( π 3 +θ)

=-

2 2

3

；
（3）由g（

3

2

π-θ）-g（θ）=

1

3

，得：-cos（

3

2

π-θ）+cosθ=

1

3

，
整理得：sinθ+cosθ=

1

3

，
两边平方得：（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=

1

9

，即2sinθcosθ=-

8

9

＜0，
∵θ∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cosθ＞0，sinθ＜0，即sinθ-cosθ＜0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=

17

9

，
则原式=-cosθ+cos（

π

2

-θ）=-cosθ+sinθ=

17

3

．

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．