Question

已知函数f（x）=ax³+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y-10=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）在[0，m]（m＞0）上的最大值为g（m），求函数g（m）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3ax²+b，

f′(1)=3a+b=-9 f(1)=a+b+12=1

，由此能求出a、b的值．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12=3（x²-4），由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2，由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出当m＞0时，g（m）有最小值12．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y-10=0，
∴f′（x）=3ax²+x，

f′(1)=3a+b=-9 f(1)=a+b+12=1

，
解得a=1，b=-12．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-12=3（x²-4），
由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2，
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
由f（0）=12，即x²-12x+12=12，得x=0，或x=±2

3

，
①当0＜m＜2

3

时，f（x）在（0，2）上单调递递，
在（2，m）上单调递增，且f（0）＞f（m），
∴f（x）的最大值为f（0）=12．
②当m≥2

3

时，f（x）在（0，2）上单调递递，
在（2，m）上单调递增，且f（0）≤f（m），
∴f（x）的最大值为f（m）=m²-12m+12，
∴g（x）=

12，0＜m＜2 3 m2-12m+12，m≥2 3

，
∵g（m）在[2

3

，+∞）上是增函数，
∴g（m）有最小值g（2

3

）=12，
综上，当m＞0时，g（m）有最小值12．

点评：本题考查实数值的求法，考查函数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和导数性质的合理运用．