Question

已知单位向量

a

，

b

满足|

a

-k

b

|=λ|k

a

+

b

|，其中k＞0，记函数f（λ）=

a

•

b

，1≤λ≤

3

，当f（λ）取得最小值时，与向量

b

垂直的向量可以是（　　）

• A、

  a

  +2

  b

• B、

  a

  +

  1

  3

  b

• C、

  a

  -

  3

  2

  b

• D、

  a

  -

  3

  4

  b

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：根据题意，先求出函数f（λ）=

a

•

b

取得最小值是什么，再判定此时各选项是否满足与向量

b

垂直即可．

解答： 解：∵单位向量

a

，

b

满足|

a

-k

b

|=λ|k

a

+

b

|，
∴(

a

-k

b

)2=λ2(k

a

+

b

)2，
即1-2k

a

•

b

+k²=λ^2（（k²+2k

a

•

b

+1），
∴-2k

a

•

b

-2kλ²

a

•

b

=-1-k²+λ²k²+λ²；
∵k＞0，
∴

a

•

b

=

k2-λ2k2-λ2+1

2k(1+λ2)

=

(k2+1)(1-λ2)

2k(1+λ2)

=

k2+1

2k

（-1+

2

1+λ2

），
∴λ=

3

时，函数f（λ）=

a

•

b

取得最小值-

k2+1

4k

；
令

b

•（

a

+2

b

）=

a

•

b

+2

b

2=-

k2+1

4k

+2=0，
即k²-8k+1=0，解得k=4±

15

＞0，
∴

a

+2

b

可以与

b

垂直；
同理，排除其他选项．
故选：A．

点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了求函数的最值问题，是综合性题目，解题的关键是求出函数f（λ）=

a

•

b

的最小值，是中档题．