Question

已知函数y=f（x）的导函数f′（x）=3x²-2x-1，f（0）=1
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意设f（x）=x³-x²-x+a，由f（0）=1，示出f（x）=x³-x²-x+1．
（2）当f′（x）＞0时，x＜-

1

3

，或x＞1，当f′（x）＜0时，-

1

3

＜x＜1，由此利用导数性质能求出函数y=f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-2x-1，
∴设f（x）=x³-x²-x+a，…（3分）
∵f（0）=1，∴a=1，∴f（x）=x³-x²-x+1．…（6分）
（2）当f′（x）＞0时，x＜-

1

3

，或x＞1，
当f′（x）＜0时，-

1

3

＜x＜1，
∴f（x）在区间（-1，-

1

3

），（1，2）内单调递增，在（-

1

3

，1）内单调递减…（9分）
∴f（x）_极大值=f（-

1

3

）=

32

27

，f（x）_极小值=f（1）=0，
又f（-1）=0，f（2）=3，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值为f（2）=3，最小值为f（-1）=f（1）=0．…（12分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．