Question

数列{a_n}的前几项S_n=n²，数列{b_n}为等比数列，且b₂=3，b₅=81．
（1）求a₂、a₃
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式
（3）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项S_n=n²，
∴S₁=1，S₂=4，S₃=9，
∴a₂=S₂-S₁=3
a₃=S₃-S₂=4
（2）当n=1时，a₁=S₁=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
又由n=1时，2n-1=1
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1
等比数列{b_n}中，∵b₂=3，b₅=81．
∴q³=

81

3

=27
解得q=3
∴等比数列{b_n}的通项公式为b_n=b₂•q^n-2=3×3^n-2=3^n-1
（3）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3^n-1
∴T_n=1×1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-1…①
3T_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ…②
①-②得
-2T_n=1+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=1+3ⁿ-3-（2n-1）•3ⁿ=（2-2n）•3ⁿ-2
∴T_n=（n-1）3ⁿ+1