Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程

Answer 1

曲线段C的方程为y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．

解析:

如图建立坐标系，以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.

设曲线段C的方程为，y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0）

其中x_A、x_B分别为A、B的横坐标，p＝|MN|．所以M（，0），N（，0）

由|AM|＝，|AN|＝3得：

（x_A＋）²＋2px_A＝17             ①

（x_A）²＋2px_A＝9               ②

由①②两式联立解得x_A＝，再将其代入①式并由p>0，解得或

因为△AMN是锐角三角形，所以＞x_A，故舍去

所以p＝4，x_A＝1．由点B在曲线段C上，得x_B＝|BN|＝4．

综上得曲线段C的方程为y²＝8x（1≤x≤4，y＞0）．