Question

如图，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=

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，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

Answer 1

分析：方法一：由抛物线的定义知该曲线段是一段抛物线，建立适当的坐标系，依据题意求参数值．用定义法写出抛物线的方程．
方法二：建立相应的坐标系，设出曲线段C上的任意一点的坐标（x，y），依据题意曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等得出方程整理即得抛物线的方程．

解答：解：法一：如图建立坐标系，
以l₁为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．
依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点．
设曲线段C的方程为
y²=2px（p＞0），（x_A≤x≤x_B，y＞0），
其中x_A，x_B分别为A，B的横坐标，p=|MN|．
所以M（-

p

2

，0），N（

p

2

，0）．
由|AM|=

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，|AN|=3得
（x_A+

p

2

）²+2px_A=17，①
（x_A-

p

2

）²+2px_A=9．②
由①，②两式联立解得x_A=

4

p

．再将其代入①式并由p＞0解得

p=4 xA=1

或

p=2 xA=2.

因为△AMN是锐角三角形，所以

p

2

＞x_A，故舍去

p=2 xA=2

所以p=4，x_A=1．
由点B在曲线段C上，得x_B=|BN|-

p

2

=4．
综上得曲线段C的方程为
y²=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：如图建立坐标系，
分别以l₁、l₂为x、y轴，M为坐标原点．
作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分别为E、D、F．
设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B）、N（x_N，0）．
依题意有
x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，
y_A=|DM|=

|AM|2-|DA|2

=2

2

，
由于△AMN为锐角三角形，故有
x_N=|ME|+|EN|
=|ME|+

|AN|2-|AE|2

=4
x_B=|BF|=|BN|=6．
设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合
{（x，y）|（x-x_N）²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}．
故曲线段C的方程为y²=8（x-2）（3≤x≤6，y＞0）．

点评：考查利用坐标法求轨迹方程，以及抛物线的定义，本题主要是训练利用符号语言进行运算的能力．