Question

【题目】已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

（3）设数列的前n项和为，求证：对任意正整数n，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）看解析.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，由已知，求出，即可得数列的通项公式；

（2）由（1）可得，，利用错位相减法即可得出，代入不等式对一切恒成立，对分类讨论即可得出的取值范围；

（3）当时，结论显然成立；当时，，化简证明即可.

（1）已知等差数列中，，设公差为，由已知，

则，所以，

得的通项公式为：

即：.

（2）由（1）可得，，

则

两式相减得：

解得：.

所以不等式化为对一切恒成立，

若为偶数，则，即；

若为奇数，则，即；

综上可得：.

（3）证明：当时，结论显然成立；

当时，由（2）知，

.

所以，对任意正整数n，都有成立.