Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率e，且点P（，1）在椭圆C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，点M（s，t）（t＞0）是椭圆C上的动点，直线AM与y轴交于点D，点E是y轴上一点，EF⊥DF，EA与椭圆C交于点G，若△AMG的面积为2，求直线AM的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）xy﹣2＝0

【解析】

（1）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，可以求解方程；

（2）设出直线方程，联立方程组，结合三角形的面积为2可得直线斜率，从而可得方程.

（1）由题意得e，，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝2，

所以椭圆的方程：.

（2）由（1）得左焦点F（，0），A（2，0），设直线AM：y＝k（x﹣2），由题意得D（0，﹣2k），∴kDFk，

∵EF⊥DF，∴kEF，∴直线EF的方程：x，

令x＝0，则y，所以点E（0，），所以kEA，

所以直线EA：x＝﹣2ky+2，联立与椭圆的方程整理得：∴y，x，所以点G（，）；

联立直线AM与椭圆的方程整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣4＝0，解得：x1＝2，x2，∴y2，所以点M（，），

所以点M，G关于原点对称，即直线MG过原点，

∴S△AMG2|yM|，由题意得：2，解得：k，

由点M（s，t）（t＞0）得，k，所以直线AM为：y（x﹣2），

即直线AM：xy﹣2＝0.