Question

【题目】如图，在多面体中，，四边形和四边形是两个全等的等腰梯形.

（1）求证：四边形为矩形；

（2）若平面平面，，，，求平面与平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由梯形性质可得四边形为平行四边形，即可得.又可证明平面，而且，即可得，从而四边形为矩形.

（2）分别取的中点，可得，，，因而以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并分别求得平面和平面的法向量，即可由空间向量的数量积求得两个平面所成二面角的余弦值.

（1）证明：分别取的中点，如下图所示：

∵四边形和四边形是两个全等的等腰梯形

，

∴四边形为平行四边形

，为的中点

，同理

为的中点，为的中点

，且

四点共面，四边形以为底的梯形

，且相交

平面

平面

又

∴四边形为矩形.

（2）分别取的中点，则，，

由，可知，

同理，

又由平面平面，平面平面，平面，所以平面

又平面，

所以，

则以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，

设平面的法向量为，

由，

则，

令，代入可求得，所以，

设平面的法向量为，

由，，

则

令，代入可求得，所以，

则

由图可知平面与平面所成二面角为锐二面角.

故.