Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=n+

3

2

an（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

bn

an-1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据已知中Sn=n+

3

2

an（n∈N^*）．结合an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（II）结合（I）中结论即数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．我们可以求出数列{

bn

an-1

}的通项公式，我们易写出列{

bn

an-1

}的前n项和T_n的表达式，进而利用错位相消法，即可求出答案．

解答：解：（1）由Sn=n+

3

2

an，①当n≥2时，Sn-1=n-1+

3

2

an-1，②
两式相减得an=1+

3

2

an-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1-2．当n≥2时，

an-1

an-1-1

=

3an-1-2-1

an-1-1

=3为定值，
由Sn=n+

3

2

an，令n=1，得a₁=-2．所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=1-3ⁿ．（4分）
（2）∴b₂=-8，b₂₀=-80．由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n．
∵Tn=

b1

a1-1

+

b2

a2-1

+…+

bn-1

an-1-1

+

bn

an-1

=4[

1

31

+

2

32

+…+

(n-1)

3n-1

+

n

3n

]，
而

1

3

Tn=4[

1

32

+

2

33

+…+

(n-1)

3n

+

n

3n+1

]，
相减得

2

3

Tn=4(

1

31

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

)，即Tn=2(

1

30

+

1

31

+…+

1

3n-1

)-

2n

3n

，
则Tn=2

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-

2n

3n

=3-

2n+3

3n

．（12分）

点评：本题考查的知识点是数列的递推公式及数列的求和，如果已知中已知S_n，求a_n，公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

是最常用的方法．