已知FF分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左右焦点.P是双曲线上任意一点.|PF2|2|PF1|的最小值为8a.则此双曲线的离心率e的取值范围是．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知FF分别是双曲线

=1的左右焦点，P是双曲线上任意一点，

|PF2|2

|PF1|

的最小值为8a，则此双曲线的离心率e的取值范围是

．

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由定义知：|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，

|PF2|2

|PF1|

4a2

|PF2|

+4a+|PF₂|≥8a，当且仅当

4a2

|PF2|

=|PF₂|，即|PF₂|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率e＞1的取值范围．

解答： 解：由定义知：|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴

|PF2|2

|PF1|

4a2

|PF2|

+4a+|PF₂|≥8a，
当且仅当

4a2

|PF2|

=|PF₂|，即|PF₂|=2a时取得等号
设P（x₀，y₀）（x₀≤-a）
由焦半径公式得：|PF₂|=-ex₀-a=2a，∴ex₀=-3a
e=-

≤3
又双曲线的离心率e＞1
∴e∈（1，3]
故答案为：（1，3]．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．

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