Question

9．如图，四边形ABEF为矩形，AC=BC，AB=2AF=FC=2，$OC=\sqrt{2}$．O为AB的中点．
（Ⅰ）求证：FA⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O是AB的中点，AC=BC，可得OC⊥AB．再求解直角三角形可得FC²=FA²+AC²，得FA⊥AC，由四边形ABEF为矩形，可得AB⊥AF，再由线面垂直的判定可得FA⊥平面ABC；
（Ⅱ）取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，进一步求得平面FCE与平面CEB的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角F-CE-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵O是AB的中点，AC=BC，∴OC⊥AB．
∵AO=$\frac{1}{2}AB=1$，$CO=\sqrt{2}$，∴$AC=\sqrt{3}$，
∵2AF=FC=2，∴FC²=FA²+AC²，即FA⊥AC，
∵四边形ABEF为矩形，∴AB⊥AF，
又AB∩OC=O，∴FA⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F（0，-1，1），E（0，1，1），B（0，1，0），
C（$\sqrt{2}$，0，0）．
从而$\overrightarrow{CE}=（-\sqrt{2}，1，1）$，$\overrightarrow{EF}=（0，-2，0）$，$\overrightarrow{EB}=（0，0，-1）$．
设平面FCE的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=-2y=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n}=（1，0，\sqrt{2}）$，
设平面CEB的法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{2}x+y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=-z=0}\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{2}$，0），
设$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$，
由于二面角F-CE-B为钝二面角，则余弦值为$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．