Question

20．已知在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥平面ABCD，M、N分别为PD、AC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）当PA=AD=2，AB⊥AD时，求点N到平面ABM的距离．

Answer 1

分析 （1）连接BD，运用线面平行的判定定理，即可得证；
（2）取AD的中点H，连接MH，运用线面垂直的判定和性质和等积变换法，由V_M-ABN=V_N-ABM，运用体积公式计算即可得到所求距离．

解答 （1）证明：连接BD，
由M为PD的中点，N为BD的中点，可得MN∥PB，
MN?平面PAB，PB?平面PAB，
则MN∥平面PAB；
（2）解：取AD的中点H，连接MH，
由PA⊥平面ABCD，可得MH⊥平面ABCD，MH=$\frac{1}{2}$PA=1，
AB⊥AD，AB⊥PA，可得AB⊥平面PAD，
即有AB⊥AM，
设N到平面ABM的距离为d，
由体积公式可得V_M-ABN=V_N-ABM，
即有$\frac{1}{3}$•MH•S_△ABN=$\frac{1}{3}$d•S_△ABM，
即为$\frac{1}{3}$•1•$\frac{1}{2}$•AB•1=$\frac{1}{3}$d•$\frac{1}{2}$•AB•$\sqrt{2}$，
解得d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则点N到平面ABM的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查线面平行的判定和点到平面的距离的求法，注意运用线面平行的判定定理和等积变换法，考查运算和推理能力，属于中档题．