Question

10．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱长均为a，且∠A₁AB=∠A₁AD=∠DAB=60°，则下列结论正确的是①②④⑤（写出所有正确的结论的编号）．
①平面A₁BD∥平面CB₁D₁；
②四边形BDD₁B₁为正方形；
③点A到平面BDD₁B₁的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a；
④点A₁在平面BDC₁上的射影为△BDC₁的垂心；
⑤平面A₁BD与平面BDD₁B₁将四棱柱分成从小到大三部分的体积比为1：2：3．

Answer 1

分析 由A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，推导出①正确；由A₁-ABD是正四面体推导出②正确；由A₁-BDD₁B₁是正四棱锥，推导出③错误；由三棱锥C₁-A₁BD为正三棱锥，推导出④正确；由A₁-ABD占总体的$\frac{1}{6}$，BDC-B₁D₁C₁占总体的$\frac{1}{2}$，A₁-BDD₁B₁占总体的$\frac{1}{3}$，推导出⑤正确．

解答 解：对于①：由图得A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，
∴平面A₁BD∥平面CB₁D₁，故①正确；
对于②：∵A₁-ABD是正四面体，∴AA₁⊥BD，
∴DD₁⊥BD，∴四边形BDD₁B₁为正方形，故②正确；
对于③：A₁-BDD₁B₁是正四棱锥，所有棱长均相等，
A到平面BDD₁B₁的距离等于A₁到平面BDD₁B₁的距离，
等于A₁到BDD₁B₁的距离，为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，故③错误；
对于④：三棱锥C₁-A₁BD为正三棱锥，对棱互相垂直，
则A₁在平面BDC₁上的射影为△BDC₁的垂心，故④正确；
对于⑤：A₁-ABD占总体的$\frac{1}{6}$，BDC-B₁D₁C₁占总体的$\frac{1}{2}$，A₁-BDD₁B₁占总体的$\frac{1}{3}$，
∴平面A₁BD与平面BDD₁B₁将四棱柱分成从小到大三部分的体积比为1：2：3，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意棱柱的结构特征和空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．