Question

已知函数f(x)=2sin²x+sin2x,x∈R.

(1)求函数f(x)的最大值、最小值及单调增区间;

(2)函数f(x)的图象是由函数y=sinx,x∈R的图象经过怎样的变换而得到的?

分析:解此类问题的关键是把函数f(x)转化成一个角的一个三角函数的形式.

Answer 1

解:(1)f(x)=1-cos2x+sin2x=1+sin(2x-).

∵-1≤sin(2x-)≤1,

∴1-≤f(x)≤1+.

∴函数f(x)的最大值是1+,最小值是1-.

由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

∴函数的单调递增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.

(2)将函数y=sinx的图象依次进行如下变换:

①把函数y=sinx的图象向右平移,得到函数y=sin(x-)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x-)的图象;

③把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=sin(2x-)的图象;

④把得到的图象向上平移1个单位长度,得到函数y=1+sin(2x-)的图象.

综上得到函数f(x)=2sin²x+sin2x的图象.