Question

已知圆C：（x-a）²+（y-a）²=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，此时实数a的值为

 

．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可．

解答： 解：圆C：（x-a）²+（y-a）²=1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1，
圆心到直线的距离d=

2a

10

，半弦长为：

1-( 2a 10 )2

=

10-4a2

10

，
∴△CPQ的面积S=

2a

10

•

10-4a2

10

=

a2(10-4a2)

5

=

10a2-4a4

5

，
当a²=

10

8

时10a²-4a⁴取得最大值，最大值为：10×

10

8

-4×(

10

8

)2，
∴△CPQ的面积S的最大值为：

10× 10 8 -4×( 10 8 )2

5

=

1

2

．
此时a=

5

2

故答案为：

5

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力．