Question

3．抛物线x²=-2py（p＞0）上各点到直线3x+4y-12=0的最短距离为1，则p=$\frac{56}{9}$．

Answer 1

分析 抛物线上设点P（x，y），从而可求点P到直线3x+4y-12=0的距离，进而利用配方法，即可求解．

解答 解：抛物线上设点P（x，y），则
点P到直线3x+4y-12=0的距离为$\frac{|3x+4y-12|}{5}$=$\frac{|-\frac{2}{p}（x-\frac{3}{4}p）^{2}+\frac{9}{8}p-12|}{5}$，
∵x²=-2py（p＞0）上各点到直线3x+4y-12=0的最短距离为1，
∴|$\frac{9}{8}$p-12|=1
∵p＞0，∴p=$\frac{56}{9}$．
故答案为$\frac{56}{9}$．

点评 本题重点考查点到直线的距离，解题的关键是正确运用点到直线的距离，运用配方法求最短距离．