Question

13．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2（n∈{N^+}）$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${c_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}，{T_n}={c_1}+{c_2}+…+{c_n}$，试比较T_n与$\frac{5n}{2n+1}$的大小，并予以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）需要分类讨论：n=1和n≥2两种情况下的数列{a_n}的通项公式；当n≥2时，根据已知条件可以求得${2^n}{a_n}={2^{n-1}}{a_{n-1}}+1$，设${b_n}={2^n}{a_n}$，则b_n=b_n-1+1，由此推知数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．结合等差数列的通项公式不难得到：${a_n}=\frac{n}{2^n}$；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的数据和错误相减法推知T_n的通项公式，然后结合不等式的性质进行证明．

解答 解：（ I）在${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$中，令n=1，可得S₁=a_n-1+2=a₁，即${a_1}=\frac{1}{2}$，
当n≥2时，${S_{n-1}}=-{a_{n-1}}-{（\frac{1}{2}）^{n-2}}+2$，
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=-{a_n}+{a_{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴$2{a_n}={a_{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，即${2^n}{a_n}={2^{n-1}}{a_{n-1}}+1$，
设${b_n}={2^n}{a_n}$，则b_n=b_n-1+1，即当n≥2时，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，
∴数列{b_n}是首项和公差均为1的等差数列．
于是b_n=1+n-1=n=2ⁿa_n，
∴${a_n}=\frac{n}{2^n}$
（ II）由（ I）得${c_n}=\frac{n+1}{n}{a_n}=（n+1）{（\frac{1}{2}）^n}$，
所以${T_n}=2×\frac{1}{2}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+4×{（\frac{1}{2}）^3}+K+（n+1）{（\frac{1}{2}）^n}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}=2×{（\frac{1}{2}）^2}+3×{（\frac{1}{2}）^3}+4×{（\frac{1}{2}）^4}+K+（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}$，②
由①-②得
$\begin{array}{l}\frac{1}{2}{T_n}=1+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+K+{（\frac{1}{2}）^n}-（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}\\=1+\frac{{\frac{1}{4}[{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-（n+1）{（\frac{1}{2}）^{n+1}}=\frac{3}{2}-\frac{n+3}{{{2^{n+1}}}}\end{array}$，
∴${T_n}=3-\frac{n+3}{2^n}$，${T_n}-\frac{5n}{2n+1}=3-\frac{n+3}{2^n}-\frac{5n}{2n+1}=\frac{{（n+3）（{2^n}-2n-1）}}{{{2^n}（2n+1）}}$
于是只要比较2ⁿ与2n+1的大小即可，
（1）当n=1，2时，2ⁿ＜2n+1，此时${T_n}-\frac{5n}{2n+1}＜0$，即${T_n}＜\frac{5n}{2n+1}$，
（2）猜想：当n≥3时，2ⁿ＞2n+1，下面用数学归纳法证明：
①当n=3时，不等式2ⁿ＞2n+1成立；②假设n=k≥3时，不等式成立，即2^k＞2k+1；
则当n=k+1时，2^k+1＞2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2k+（2k+2）≥2k+8＞2（k+1）+1，
所以当n=k+1时，不等式2ⁿ＞2n+1成立，
由①和②可知，当n≥3时，2ⁿ＞2n+1成立，
于是，当n≥3时，${T_n}-\frac{5n}{2n+1}＞0$，即${T_n}＞\frac{5n}{2n+1}$．
另证：要证2ⁿ＞2n+1（n≥3），只要证：2ⁿ-1＞2n，只要证：1+2¹+2²+L+2^n-1＞2n，
由均值不等式得：$1+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}＞n\root{n}{{1•{2^1}•{2^2}…{2^{n-1}}}}=n•{2^{\frac{n-1}{2}}}≥n•{2^{\frac{3-1}{2}}}=2n$，
所以2ⁿ＞2n+1，于是当n≥3时，${T_n}-\frac{5n}{2n+1}＞0$，即${T_n}＞\frac{5n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，同时考查等比数列的通项公式和等差数列的性质和定义的运用，考查推理能力，属于难题．